2017-08-13

数学的思考を身につける2~分数と割合

比や割の原点に等分という考え方がある。その思考は、エジプト、シュメール、ギリシャといった古代文いずれにも姿を見せていたことが明らかになった。今回は、この等分に起因する分数や割という思考がその後、どのように発展していったのかをみていく。

前回に続いて三重大学上垣渉氏による「分数の起源に関する私的考察」http://miuse.mie-u.ac.jp/bitstream/10076/4864/1/AN002341990470002.PDF からである。

古代ギリシアにおけるエジプト式分数は実用的な計算術(ロギステイケー)において用いら
れたものであり、その概念は基本的に≪等分割≫ を基礎におく流儀のものであった。これに対して、数論(アリスメーティケー)におけるギリシア式分数はまったく異質の概念であった。では、その後、分数はどのように発展していったのだろうか?ギリシアの分数のその後をみてみよう。

ユークリッド『原論』第Ⅶ巻には23個の定義が置かれているが、その最初の2個が上の問いに答えているのである。

定義1.単位とは存在するもののおのおのがそれによって一とよばれるものである。
定義2.数とは単位から成る多である。

つまり古代ギリシアにおいては、「数」とは、一と呼ばれる≪単位≫の集合体(多者)なのであるが、その≪単位≫ は分割不可能とされていたのである。単位すなわち一が分割不可能な
らば、一より小なる分数は存在しないと考えざるをえない。著名なギリシア数学史家A.サボーは次のように述べている。「もちろん、実生活ではどんな単位も分割できるし、ギリシアの商人や技師たちも果てしない遥かな昔から分数による計算は当然していたのだが、ただこの古い学問(数論)だけがそうしなかったのである。ギリシアの数論においては、1より小さい数としての分数は存在しないのである。しかし、ギリシアの数論学者は《数の比≫という概念を分数に相当するものとして使用したのである。これが今日「割合分数」と呼ばれているものである。

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ギリシアでは本来あった、分数を否定し、数は分割不能な「1」をもとに考えるという思考に転換したようだ。その背景については、上垣氏は書いていないが、略奪に次ぐ略奪を経て、分割不能な取り分へ固執する個人主義的思考の結果であろう。そうした思考は分割不能な「原子」=アトムがあるはずだというギリシア固有な世界観へと展開していく。

http://blog.sizen-kankyo.com/blog/2011/12/1014.html

他方で、「0」の起源をもつといわれるインドでは分数はどのように発展したのだろうか?

チャクラヴアルテイが「インドの分数は他の地域のそれよりもより合理的である。彼ら(インド人)は15、16世紀のヨーロッパ人のように分数の定義を除法においている。しかしヨーロッパ人と違って、その除法は”通常、小さい数を大きい数によって除する”という制限を設けてはいなかった。つまり、分子が分母よりも小さくなければならないとは考えなかったのである。」と述べているように、インド人は分母・分子の大小に制限をつけない一般的な分数を取り扱ったのである。その結果、今日の分数表記はインド分数にそとができるのである。

インドの分数は横棒こそなかったものの、その後の分数の基礎をつくったということがいえそうだ。「0」の発見にしろ、「分子が分母より大きい分数」にしろ、インド的思考の自由度の高さはその後の数学をけん引している。

そうやって発展していった分数の世界にあって、1を分割不能なものとみなしたギリシア数学は分数ではなく「割合」として発展していく。

エジプト、バビロニア、ギリシアのロギステイケー、ローマ、インド、中国におけるすべての古代数学において、分数とは「ある量に対する分割操作の結果得られた量を表現するための数」(私はこれを”分割量分数”と呼ぶ)であることが明らかになったものと思う。そして、量に無関心であったギリシアのアリスメーティケ一における「分数」のみが一人特異な存在としての意義を持っていたのであった。さらに、歴史的にみて、アリスメーティケ一における”分数”を「分数」と呼ぶのは不適切であることも明らかになった。なぜなら、アリスメーティケ一においては、「一」(単位)は分割されえないものとみなされていたからである。「単位」が分割されえないものである限り、単位より小なる量を分数(あるいは小数)によって表現する途は閉ざされてしまうことになるのである。その結果、アリスメーティケ一においては、2量の関係(割合)を意味するところの”整数の比”が今日の分数概念に相当するものとして把握されたのであった。これがいわゆる今日の「割合分数」の起源である。

このように、ギリシアの「分割不能な1」に固執する思考故に、分数とは異なる「割合」なるものが登場したわけだが、「分数」も「割合」も根幹は「等分」を起点とする同じものなのだという認識は重要だろう。これらをバラバラなものとして扱う学校数学の限界を超えた教科体系の見直しが重要だ。

List    投稿者 tutinori-g | 2017-08-13 | Posted in B01.科学はどこで道を誤ったのか?No Comments » 

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